1. ¿Qué son los fractales?
La palabra “fractal” proviene del latín fractus, que significa “fragmentado”, “fracturado”, o simplemente “roto” o “quebrado”, muy apropiado para objetos cuya dimensión es fraccionaria. El término fue acuñado por Benoît Mandelbrot en 1977 aparecido en su libro The Fractal Geometry of Nature. Al estudio de los objetos fractales se le conoce, generalmente, como geometría fractal.
Un fractal es un conjunto matemático que puede gozar de autosimilitud a cualquier escala, su dimensión no es entera o si es entera no es un entero normal. El hecho que goce de autosimilitud significa que el objeto fractal no depende del observador para ser en sí, es decir, si tomamos algunos tipos de fractales podemos comprobar que al hacer un aumento doble el dibujo es exactamente igual al inicial, si hacemos un aumento 1000 comprobaremos la misma característica, así pues si hacemos un aumento n, el dibujo resulta igual luego las partes se parecen al todo.
Un conjunto u objeto es considerado fractal cuando su tamaño se hace arbitrariamente mayor a medida que la escala del instrumento de medida disminuye.
Hay muchos objetos ordinarios que, debido a su estructura o comportamiento, son considerados fractales naturales, aunque no los reconozcamos. Las nubes, las montañas, las costas, los árboles y los ríos son fractales naturales aunque finitos ergo no ideales; no así como los fractales matemáticos que gozan de infinidad y son ideales.
Algunas definiciones sencillas extraídas de ensayos y libros acerca del tema:
- Modelos infinitos comprimidos de alguna manera en un espacio finito
- Bellísimos y fascinantes diseños de estructura y complejidad infinita.
Resumen de las propiedades de los fractales:
- Dimensión no entera.
Como se mostrará en el apartado siguiente la dimensión de un fractal no es un número entero sino un número generalmente irracional. - Compleja estructura a cualquier escala.
Los fractales muestran estructuras muy complejas independientemente de la escala a la cual lo observemos. - Infinitud.
Se consideran infinitos ya que a medida que aumentamos la precisión del instrumento de medición observamos que el fractal aumenta en longitud o perímetro. - Autosimilitud en algunos casos.
Existen fractales plenamente autosimilares de manera que el todo está formado por pequeños fragmentos parecidos al todo.
2. ¿Qué significa realmente dimensión?
La geometría tradicional o euclidiana distingue las siguientes dimensiones: -1, 0, 1, 2, 3.
Dimensión -1: Realmente esta dimensión representa el vacío.
Dimensión 0: Un punto no tiene dimensión alguna porque no tiene longitud, anchura o profundidad.
Dimensión 1: Una línea (formada por infinitos puntos) es unidimensional ya que sólo tiene longitud. Si dividimos por la mitad la medida de la longitud de un objeto unidimensional, obtenemos dos objetos pequeños de idéntica apariencia al objeto original
Dimensión 2: Un plano es bidimensional porque tiene longitud y anchura. Si lo dividimos por su longitud y su anchura obtenemos 4 planos.
Dimensión 3: Un cubo es tridimensional ya que tiene longitud, anchura y profundidad. Si dividimos exactamente por la longitud, la anchura y la profundidad obtenemos 8 cubos más pequeños.
De estas observaciones se puede concluir que la duplicación ocurre a razón exponencial de 2, 4, 8 y así sucesivamente. Aritméticamente, estos números pueden expresarse como:
Siendo P las porciones obtenidas del número de divisiones n elevado a la dimensión D.
Si examinamos el valor del exponente en cada caso, encontramos que éste es idéntico al valor de la dimensión de cada objeto: 1, 2 y 3. Así pues esta forma de calcular la dimensión de un objeto resulta totalmente válida.
¿Pero qué pasa cuando medimos la dimensión de un fractal?
Tomando de ejemplo el triángulo de Sierpinski . Este fractal se forma descomponiendo un triángulo equilátero en 3 triángulos iguales como vemos abajo.
Por tanto, podemos comprobar que este fractal tiene dimensión 1.58496.
Queda así especificado el concepto de dimensión fractal.
3. ¿Cómo se construye un fractal?
Normalmente un fractal se construye mediante una fórmula o función que se va iterando un número arbitrario de veces. Aunque otra forma de lograrlo es mediante la aplicación de técnicas de recursividad. Con estos dos métodos es como solemos conseguir la autosimilitud de los fractales, ya que aplicamos la misma función a diferentes niveles..
Tan importante es la elección de la formula como la elección del método de coloreado de los resultados. En relación a esto, existen multitud de técnicas de coloreado como pueden ser:
- Coloreado mediante el algoritmo de tiempo de escape.
- Coloreado por convergencia a soluciones de una ecuación.
- Cualquier otro que puedas imaginar.
3.1. Fractales naturales
Existen multitud de fractales naturales en las cosas más insignificantes, y que pasamos por alto cada día. Estos fractales no son infinitos (porque fuera del elegante universo de las matemáticas ese concepto es difícil), pero si son autosimilares a muchos niveles.
Claros ejemplos de estos fractales son:
| Ejemplos | ||
 |  |  |
| Hoja | Corales | Romanesco |
3.2. Fractal de Newton
Por nuestra parte, en esta simulación vamos a dedicar nuestra atención a fractales creados o descubiertos por el hombre mediante ecuaciones conocidas.
Concretamente mostraremos un especial interés en el fractal de Newton y en cómo se construye.
El fractal de Newton es una curiosa creación basado en la aplicación del método de Newton para la resolución de sistemas de ecuaciones no lineales. El algoritmo es eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.
La idea de este método es la siguiente: se comienza con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque), entonces se reemplaza la función que estamos tratando por la recta tangente en ese valor, se iguala a cero y se despeja (fácilmente, por ser una ecuación lineal). Este cero será, generalmente, una aproximación mejor a la raíz de la función. Luego, se aplican tantas iteraciones como se deseen hasta que el método de una solución adecuada. Cabe destacar que es posible que el método diverja en determinadas circunstancias que pueden depender de la elección del punto inicial.
Además es responsabilidad nuestra la elección de un buen test de parada, aunque dicho test podría basarse simplemente en el número de iteraciones realizadas (como es nuestro caso para los ejemplos).
Partiendo de este método, y dado que es capaz de aproximarse tanto a soluciones reales como a complejas, podríamos ingeniárnoslas para que dada una función se coloreasen de forma distinta las soluciones a las que el algoritmo va convergiendo. En pocas palabras: seleccionamos una región del plano complejo y vamos ejecutando el método de Newton, para una función F dada, en un punto elegido de la región.Dependiendo de a qué solución converga el método pintamos ese punto de un color u otro.
¡ Esta es la manera en la que se han pintado los fractales de Newton de las distintas simulaciones !
Como podemos comprobar, en este caso, han surgido fractales a partir de un método de aproximación de raíces de funciones y un poco de imaginación.
Para los ejemplos que se verán en las simulaciones se han dibujado los fractales basados en las siguientes funciones:
 |  |
| Fractal de Newton para la función x^3-1 | Fractal de Newton para la función x^5-1 |
3.3 Conjunto de Mandelbrot
- z0 = 0 (término inicial)
- zn+1 = zn2 + c (relación de inducción)
 |
| Fractal de Mandelbrot |
Si esta sucesión queda acotada, entonces se dice que c pertenece al conjunto de Mandelbrot (quien es el inventor de dicho fractal), y si no, queda excluido del mismo. En la imagen anterior, los puntos negros pertenecen al conjunto y los de color no. Los colores dan una indicación de la velocidad con la que diverge (tiende al infinito, en módulo) la sucesión: en rojo oscuro, al cabo de pocos cálculos se sabe que el punto no está en el conjunto mientras que en blanco, se ha tardado mucho más en comprobarlo. Como no se puede calcular un sinfín de valores, es preciso poner un límite, y decidir que si los p primeros términos de la sucesión están acotados entonces el punto merece el honor de pertenecer al conjunto. Al aumentar el valor de p se mejora la precisión de la imagen.
Por otra parte, se sabe que los puntos cuya distancia al origen es superior a 2 : x2 + y2 > 4 no pertenecen al conjunto. Por lo tanto basta encontrar un sólo término de la sucesión que verifique |zn| > 2 para estar seguro que c no está en el conjunto.
La propiedad fundamental de los fractales es una cierta invariabilidad con relación a la escala, o dicho de otro modo, al acercarse a ciertas partes de la imagen reaparece en miniatura la imagen total. Un mismo motivo aparece a distintas escalas, a un número infinito de escalas.
4. ¡A disfrutar recorriendo los fractales!
No olvidemos que además de objetos matemáticos, fruto del duro trabajo (y a veces de la casualidad), los fractales son estructuras bellas. En este applet tenemos la oportunidad de recorrerlas y adentrarnos en sus profundidades. Así que disfruta introduciéndote y navegando por estos fractales.
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